Question

7．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CM⊥AB于M，且AB+AD=2AM，求证：∠B+∠D=180°．

Answer 1

分析 作CN⊥AD于N，根据角平分线的性质得到CM=CN，AM=AN，证明△NDC≌△MBC，得到∠B=∠NDC，根据邻补角的定义证明结论．

解答 解：作CN⊥AD于N，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AB，CN⊥AD，
∴CM=CN，AM=AN，
∵AB+AD=2AM，AM=AN，
∴DN=BM，
在△NDC和△MBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ND=MB}\\{∠DNC=∠BMC}\\{CN=CM}\end{array}\right.$，
∴△NDC≌△MBC，
∴∠B=∠NDC，又∠NDC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°．

点评 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．