Question

【题目】如图，在中，，，，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．

（1）试说明不论为何值时，总有∽；

（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；

（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形为平行四边形；（3）当时，四边形的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．

解：（1）∵，

∴，

∴，又，

∴∽；

（2）当时，四边形为平行四边形，

∵，，

∴四边形为平行四边形；

（3）∵，

∴，

∵∽，

∴，即，

解得，，

∵，

∴，即，

解得，，

则四边形的面积，

∴当时，四边形的面积最大，最大值为．