Question

8．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DCE=90°，且AC=2CE，F、G分别为BC、DE边上的中点，连接AE、FG，AE=3，则FG的长度为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由△ABC和△CDE均为等腰直角三角形△ABC是等腰直角三角形，F、G分别为BC、DE边上的中点，得到∠ACF=∠ECG=45°，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，证得∠FCG=∠ACE，$\frac{CF}{HC}=\frac{CG}{CE}\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出△FCG～△ACE，即可得到结果．

解答 解：连接AF，CG，
∵△ABC是等腰直角三角形，点F是BC边上的中点，
∴∠ACF=45°，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∵△CDE为等腰直角三角形，点G是BC边上的中点，
∴∠ECG=45°
CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，
∴∠ACF=∠ECG，
∴∠ACF+∠ACG=∠ECG+∠ACG．
∴∠FCG=∠ACE，
∵$\frac{CF}{HC}$=$\frac{CG}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△FCG～△ACE，
∴$\frac{FG}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AE=3，
∴FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．