Question

如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.

(1)判断△FBC的形状,并说明理由.

(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)△FBC是等边三角形;(2)AB=AC+FA

【解析】

试题分析：(1)先求得∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,即可得到结果；

(2)在AB上取一点G,使AG=AC,即可得到△AGC是等边三角形,再有∠CBG=∠CFA,BC=FC可证得△BCG≌△FCA,再根据全等三角形的性质即可得到结果.

(1)∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,

∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,

∴△FBC是等边三角形.

(2)在AB上取一点G,使AG="AC,"

则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,

从而∠BGC=∠FAC=120°,

又∠CBG=∠CFA,BC=FC,

故△BCG≌△FCA,

从而BG=FA,又AG=AC,

∴AC+FA=AG+BG=AB.

考点：角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质

点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.