Question

操作与探究：
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点的坐标为（1,0）．将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．

（1）写出点M₅的坐标；
（2）求的周长；
（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”．根据图中点的分布规律，请写出点的“绝对坐标”．

Answer 1

（1）M₅（―4，―4）（2）的周长是（3）①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（） 
②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（） 
③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）

试题分析：解：（1）M₅（―4，―4） 
（2）由规律可知，,，  
∴的周长是  
（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：
令旋转次数为
① 当点M在x轴上时: M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂（）,…，
即：点的“绝对坐标”为（）。  
② 当点M在y轴上时: M₂，M₆，M₁₀，M₁₄,……，
即：点的“绝对坐标”为．  
③ 当点M在各象限的分角线上时：M₁，M₃，M₅，M₇   ，即：的“绝对坐标”为．  
解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（） 
②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（） 
③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（） 
点评：本题难度较大，主要考查学生对几何题型综合探究规律综合运用的掌握。为中考常考题型，要求学生多做探究训练，总结分析规律，运用到考试中去。