Question

9．已知关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图象与直线y=kx+1，若k=1，求证：无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同的交点．

Answer 1

分析 令k=1，联立y=x²-2mx+m²+m和y=x+1可得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，求出方程的根的判别式，进而结论可证明．

解答 证明：∵关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图象与直线y=kx+1，其中k=1，
∴x²-2mx+m²+m=x+1，即x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴△=（2m+1）²-4（m²+m-1），即△=5＞0，
∴方程x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，有两不相等的实数根，
∴无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同的交点．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的求法，此题难度不大．