题目内容
如图，在矩形ABCD中，AO=3，OC=4，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D，点E的坐标；
（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．
考点：一次函数综合题,解一元二次方程-公式法,勾股定理,相似三角形的判定与性质
专题：分类讨论
分析：（1）由题可得点A、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（2）过点D作DH⊥OC于点H，如图1，由题可得AC、AD、CD、CE、OE的长，就可用含t的代数式表示点E的坐标，易证△HCD∽△OCA，根据相似三角形的性质可求得DH、CH，从而得到OH，就可用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）可分三种情况（①∠DOC=90°，②∠ODE=90°，③∠DEO=90°）讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．
（2）过点D作DH⊥OC于点H，如图1，由题可得AC、AD、CD、CE、OE的长，就可用含t的代数式表示点E的坐标，易证△HCD∽△OCA，根据相似三角形的性质可求得DH、CH，从而得到OH，就可用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）可分三种情况（①∠DOC=90°，②∠ODE=90°，③∠DEO=90°）讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．
解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵AO=3，OC=4，
∴点A（0，3），点C（4，0），
∴
，
解得：
，
∴直线AC的解析式为y=-
x+3．
（2）过点D作DH⊥OC于点H，如图1，
由题可知：AD=3t，CE=t，
∵OC=4，∴OE=OC-EC=4-t，
∴点E的坐标为（4-t，0）．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=90°，OA=3，OC=4，
∴AC=
=5．
∵∠DHC=∠AOC=90°，∠HCD=∠OCA，
∴△HCD∽△OCA，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴DH=
，CH=
，
∴OH=OC-CH=4-
=
，
∴点D的坐标为（
，
）．
（3）①若∠DOC=90°，
则∠DOC=∠AOC=90°，
∴点D与点A重合，
∴AD=3t=0，即t=0．
②若∠ODE=90°，如图1．
∵DH⊥OC，
∴∠DHO=∠DHE=90°，
∴∠ODH=90°-∠HDE=∠HED，
∴△DHO∽△EHD，
∴
=
，
∴DH2=OH•EH，
∴（
）2=
•（
-t），
整理得：19t2-34t+15=0，
解得：t1=1，t2=
．
③若∠DEO=90°，如图2，
则∠DEC=∠AOC=90°，
∵∠ECD=∠OCA，
∴△DEC∽△AOC，
∴
=
，
∴
=
，
解得：t=
．
综上所述：当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，t的值为0、1、
、
．
∵AO=3，OC=4，
∴点A（0，3），点C（4，0），
∴
|
解得：
|
∴直线AC的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
（2）过点D作DH⊥OC于点H，如图1，由题可知：AD=3t，CE=t，
∵OC=4，∴OE=OC-EC=4-t，
∴点E的坐标为（4-t，0）．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=90°，OA=3，OC=4，
∴AC=
| OA2+OC2 |
∵∠DHC=∠AOC=90°，∠HCD=∠OCA，
∴△HCD∽△OCA，
∴
| DC |
| AC |
| DH |
| AO |
| CH |
| OC |
∴
| 5-3t |
| 5 |
| DH |
| 3 |
| CH |
| 4 |
∴DH=
| 15-9t |
| 5 |
| 20-12t |
| 5 |
∴OH=OC-CH=4-
| 20-12t |
| 5 |
| 12t |
| 5 |
∴点D的坐标为（
| 12t |
| 5 |
| 15-9t |
| 5 |
（3）①若∠DOC=90°，
则∠DOC=∠AOC=90°，
∴点D与点A重合，
∴AD=3t=0，即t=0．
②若∠ODE=90°，如图1．
∵DH⊥OC，
∴∠DHO=∠DHE=90°，
∴∠ODH=90°-∠HDE=∠HED，
∴△DHO∽△EHD，
∴
| DH |
| EH |
| OH |
| DH |
∴DH2=OH•EH，
∴（
| 15-9t |
| 5 |
| 12t |
| 5 |
| 20-12t |
| 5 |
整理得：19t2-34t+15=0，
解得：t1=1，t2=
| 15 |
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③若∠DEO=90°，如图2，
则∠DEC=∠AOC=90°，
∵∠ECD=∠OCA，
∴△DEC∽△AOC，
∴
| DC |
| AC |
| CE |
| CO |
∴
| 5-3t |
| 5 |
| t |
| 4 |
解得：t=
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综上所述：当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，t的值为0、1、
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| 19 |
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| 17 |
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
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C、 |
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