Question

【题目】如图①，中，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为1点是上位于点右侧的动点，点是上的动点，在运动过程中始终保持，cm．过作交于，当点与点重合时点停止运动．设的而积为，点的运动时问为，与的函数关系如图②所示：

（1）=_______，=_______；

（2）设四边形的面积为，求的最大值；

（3）是否存在的值，使得以，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）6，12；（2）时，有最大值16．（3）或

【解析】

(1)当t=4时，点E与C重合，此时AD=4，AC=AD+DE=4+2=6，故可求得AC=6;

由图分析当t=0时，S=2.设M到AC的距离为h,所以DEh=2,所以h=2.易求得tan∠A=2，再在Rt中，解直角三角形可以求出AC的长.

(2) 四边形的面积等于三角形MDE和三角形MNE的和，用含有t的式子表示出四边形MDEN的面积，再求最值；

（3）两个三角形中已有，如若再找到一对角相等，两三角形相似，故需分情况进行讨论：当或时，两三角形相似.

解：（1）由图可知：当t=4时，点E与C重合，此时AD=4，AC=AD+DE=4+2=6，故可求得AC=6;

当t=0时，S=2.设M到AC的距离为h,所以DEh=2,所以h=2.

∴tan∠A==2.

在Rt中，tan∠A==2.

∴BC=2AC=12.

（2）作于点，

∵，，∴，∴，

∵，

∴，

∵，，∴，

又∴，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∴

，

根据题意，，

∴时，有最大值16．

（3）假设存在的值，使得以，，为顶点的三角形与相似．

∵，∴．

①当时，，∴，∴，，．

②当时，，此时，

∵，∴，∴，

∴，（舍去）

∴或时，以，，为顶点的三角形与相似．