Question

【题目】如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M2014的坐标为_______．

Answer 1

【答案】（4027，4027）.

【解析】

试题解析：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，

抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，

得x2=（x-a1）2+a1，

即2a1x=a12+a1，

x=（a1+1）．

∵x为整数点

∴a1=1，

M1（1，1）；

M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，

抛物线y=x2与y2相交于A2，

x2=x2-2a2x+a22+a2，

∴2a2x=a22+a2，

x=（a2+1）．

∵x为整数点，

∴a2=3，

M2（3，3），

M3（a3，a3）是抛物线y2=（x-a3）2+a3=x2-2a3x+a32+a3顶点，

抛物线y=x2与y3相交于A3，

x2=x2-2a3x+a32+a3，

∴2a3x=a32+a3，

x=（a3+1）．

∵x为整数点

∴a3=5，

M3（5，5），

∴点M2014，两坐标为：2014×2-1=4027，

∴M2014（4027，4027）.