Question

已知二次函数y=-

2

3

x2-

4

3

x+2的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：A、B两点关于抛物线对称轴对称，连接AC交对称轴于P点，连接PB，P点即为所求，只要求出直线AC的解析式，把对称轴的值代入直线AC的解析式，可求P的坐标．

解答：解：如图，连接AC交对称轴于P点，连接PB，P点即为所求，
由二次函数y=-

2

3

x²-

4

3

x+2，得C（0，2），
令y=0，得x₁=-3，x₂=1，故A（-3，0），B（1，0），故对称轴为x=

-3+1

2

=-1，
设直线AC的解析式为y=kx+b，则

-3k+b=0 b=2

，解得

k= 2 3 b=2

，
直线AC：y=

2

3

x+2，
把x=-1代入直线AC的解析式，得y=

4

3

，
∴P的坐标为（-1，

4

3

）．
故本题答案为：（-1，

4

3

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的轴对称性确定使当PB+PC取得最小值时的P点坐标．