(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1.x2.求证:x1+x2=-p.x1•x2=q．(2)已知关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1.x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0.求a的值．(3)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A．B两点.且过点.设线段AB的长为d.当p为何值时.d2取� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两根为x₁，x₂，求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知关于x的一元二次方程x²+4x+a=0的两个不相等实数根x₁，x₂满足x₁x₂-2x₁-2x₂-5=0，求a的值．
（3）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A．B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

分析（1）先根据求根公式得出x₁、x₂的值，再求出两根的和与积即可；
（2）根据根与系数的关系，表示出x₁+x₂及x₁•x₂的值，代入x₁x₂-2x₁-2x₂-5=0，求出a即可．
（3）根据抛物线经过点（-1，-1），用含p的式子表示出抛物线解析式，求出两个之和，两根之积，根据d=|x₁-x₂|，用含p的式子表示出d²，再利用根与系数的关系即可得出结论．

解答（1）证明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=b²-4ac=p²-4q≥0
∴方程有两个实数根．
∴方程的解为：x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-p±\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}+\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p$，
x₁•x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}•\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}=\frac{{p}^{2}-（p2-4q）}{4}$=$\frac{4q}{4}=q$．
（2）解：∵方程x²+4x+a=0的两个不相等实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}=a$，
将其代入x₁x₂-2x₁-2x₂-5=0，得：a-2×（-4）-5=0，解得：a=-3．
（3）解：∵抛物线经过点（-1，-1），
∴1-p+q=-1，解得q=-2+p，
∴抛物线解析式为：y=x²+px+-2+p，
∴x₁+x₂=$-\frac{b}{a}=-p$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-2+p，
∵线段AB的长度d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4 x₁•x₂=p²+8-4p=（p-2）²+4≥4，
∴当p=2时，d²有最小值为4．