Question

【题目】如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y= (k>0,x>0)于点P，且OAMP=12，

(1)求k值；

(2)当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图象G最高点的坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x,且满足4x6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）6；（2）AB=4，；（3）(, +t)；（4）t=5，5t8，7t8+.

【解析】

（1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．

（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．

（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．

（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．

(1)设点P(x,y)，则MP=y，由OA的中点为M可知OA=2x，代入OAMP=12，

得到2xy=12，即xy=6.

∴k=xy=6.

(2)当t=1时,令y=0,0= (x1)(x+3)，

解得x=1或3，

∵点B在点A左边，

∴B(3,0),A(1,0).

∴AB=4，

∵L是对称轴x=1,且M为(,0)，

∴MP与L对称轴的距离为.

(3)∵A(t,0),B(t4,0)，

∴L的对称轴为x=t2，

又∵MP为x=，

当t2,即t4时,顶点(t2,2)就是G的最高点。

当t>4时,L与MP的解得(, +t)就是G的最高点.

(4)结论：5t8或78+.

理由：对双曲线,当4x6时,1y,即L与双曲线在C(4, ),D(6,1)之间的一段有个交点.

①由= (4t)(4t+4)解得t=5或7.

②由1= (4t)(4t+4)解得t=8和8+.

随t的逐渐增加,L的位置随着A(t,0)向右平移，如图所示，

当t=5时，L右侧过过点C.

当t=8<7时,L右侧过点D,即5t8.

当8<t<7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃.

当t=7时,L左侧过点C. 当t=8+时,L左侧过点D,即7t8+.