Question

如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB=CD，AC丄BD于点O，∠BAC=60°，若BC=

6

，则此梯形的面积为（　　）

• A、2
• B、1+

  3

• C、

  2

  +

  6

• D、2+

  3

Answer 1

分析：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC=∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC=∠ACB，求出∠DBC=∠ACB=45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积．

解答：解：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠DBC=∠ACB=45°，
∴OB=OC，
∵OF⊥BC，
∴OF=BF=CF=

1

2

BC=

6

2

，
由勾股定理得：OB=

3

，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA，
由勾股定理得：（2OA）²=OA²+(

3

)2，
∴OA=1，AB=2，
同法可求OD=OA=1，AD=

2

，OE=

2

2

，
S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•EF=

1

2

×（

2

+

6

）×（

2

2

+

6

2

）=2+

3

．
故答案为：2+

3

．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．