Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E，点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）t =（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C， 此时，QC=35×3=105， ∴BQ的长为135-105=30； （2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50+75-5t=3t，解得t=， 经检验，当t=时，有PQ∥DC； （3）①当点E在CD上运动时，如图2， 分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而 FH= AD=75，于是BF=CH=30， ∴DH=AF=40， 又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t。（注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2；  ②当点E在DA上运动时，如图1， 过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC-CH=3t-30， ∴S= S梯形QCDE=（ED+QC）DH =120 t-600； （4）△PQE能成为直角三角形， 当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35， ①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2， 过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形， ②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1， 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合， 即5t-50+3t-30≠75，解得t≠，  ③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3， 由ED＞25×3-30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角， 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角，对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C 重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE 为直角三角形， 综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35。

图1 图2 图3 图4