Question

19．一元二次方程ax²+$\frac{1}{3}$x+1=0的两根分别为x₁，x₂，bx²+$\frac{1}{3}$x+1=0的两根分别为x₃，x₄，且x₁＜x₃＜x₄＜x₂＜0，则（　　）

• A． 0＞a＞b
• B． 0＞b＞a
• C． b＞a＞0
• D． a＞b＞0

Answer 1

分析 分析：设$f（x）=a{x}^{2}+\frac{1}{3}x+1$，方程f（x）=0的两实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），x₃，x₄是一元二次方程b${x}^{2}+\frac{1}{3}x+1=0$的两根，所以由x₁＜x₃＜x₄＜x₂成立，即x₃，x₄在两实根x₁，x₂之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，得出a与b的关系．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程ax²+$\frac{1}{3}$x+1=0的两根，
∴$a{{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{1}+1=0$，$a{{x}_{2}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{2}+1=0$，
∴$f（{x}_{3}）=a{{x}_{3}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{3}+1$，$f（{x}_{4}）=a{{x}_{4}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{4}+1$，
∵x₃，x₄是一元二次方程bx²+$\frac{1}{3}$x+1=0的两根，
∴$b{{x}_{3}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{3}+1=0$，$b{{x}_{4}}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{4}+1=0$，
∴$f（{x}_{3}）=（a-b）{{x}_{3}}^{2}$，$f（{x}_{4}）=（a-b）{{x}_{4}}^{2}$
∵x₁＜x₃＜x₄＜x₂＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{f（{x}_{3}）＜0}\\{f（{x}_{4}）＜0}\end{array}\right.$，
∴
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{a-b＜0}\end{array}\right.$
∴b＞a＞0
故选：C

点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，解答的关键是对二次函数图象的特征的把握，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．