Question

7．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8$\sqrt{3}$，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10-x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得$\frac{DE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再证明∠EHG=∠AMN即可解决问题．

解答 解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10-x，
∵DE=EC，AB=CD=8$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=4$\sqrt{3}$，
在RT△DEM中，∵DM²+DE²=EM²，
∴（4$\sqrt{3}$）²+x²=（10-x）²，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴$\frac{DE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，
∴$\frac{4\sqrt{3}}{10}$=$\frac{7.4}{EN}$，
∴EN=$\frac{37}{6}$$\sqrt{3}$，
∴AN=EN=$\frac{37}{6}$$\sqrt{3}$，
∴tan∠AMN=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$，
如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，
∴∠NME=∠NHG，
∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，
∴tan∠EHG=tan∠AMN=$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$．
方法二，tan∠EHG=tan∠EMN=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{BC}{DE}$．
故答案为$\frac{5}{6}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明∠AMN=∠EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题．