题目内容

如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK= $数学公式$ KC，求 $数学公式$ 的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= $数学公式$ AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE= $数学公式$ AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

解：（1）∵BK= $\text{[math]}$ KC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）当BE平分∠ABC，AE= $\text{[math]}$ AD时，AB=BC+CD．
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG= $\text{[math]}$ BC，而GF= $\text{[math]}$ CD，EF= $\text{[math]}$ AB，
∵EF=EG+GF，
即： $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ BC+ $\text{[math]}$ CD；
∴AB=BC+CD；
同理，当AE= $\text{[math]}$ AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则BG= $\text{[math]}$ •BC，则EG=BG= $\text{[math]}$ •BC，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则GF= $\text{[math]}$ •CD，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ •CD= $\text{[math]}$ •AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故当AE= $\text{[math]}$ AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．
分析：（1）由已知得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG= $\text{[math]}$ BC，而GF= $\text{[math]}$ CD，EF= $\text{[math]}$ AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
当AE= $\text{[math]}$ AD（n＞2）时，EG=BG= $\text{[math]}$ BC，而GF= $\text{[math]}$ CD，EF= $\text{[math]}$ AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．