Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发按图中“→”方向运动，每次运动1个单位长度，得到点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、…，且△OP₁P₂、△P₂P₄P₆、△P₆P₉P₁₂…都是等边三角形，则P₁的坐标是________，P₄₂₀的坐标是________．

Answer 1

（，）    （210，0）
分析：根据等边三角形的每一个内角都是60°的性质，利用三角函数即可求解点P₁的坐标；
根据第1个三角形有2个点，第2个三角形增加4个点，第3个三角形增加6个点，…，依此规律，第n个三角形增加2n个点，然后利用求和公式计算出点P₄₂₀在第几个三角形，再根据第n个三角形的边长等于n，利用求和公式进行计算即可．
解答：∵△OP₁P₂是等边三角形，
∴∠P₁OP₂=60°，
1×cos60°=1×=，
1×sin60°=1×=，
∴点P₁的坐标是（，）；
∵第1个三角形有2个点，
第2个三角形增加4个点，
第3个三角形增加6个点，
…，
依此规律，第n个三角形增加2n个点，
∴2+4+6+…+2n=，
=420，
整理得，n²+n-420=0，
解得n=20，n=-21（舍去），
∴P₄₂₀是第20个三角形最后的一个点，在x轴上，
∵1+2+3+…+20==210，
∴P₄₂₀的坐标是（210，0）．
故答案为：（，）；（210，0）．
点评：本题考查了等边三角形的三边都相等，每一个内角都是60°的性质，发现第n个等边三角形增加2n个点的规律是解题的关键，本题规律性较强，灵活性较大，有助于同学们学习能力的培养．