Question

（2013•梧州一模）如图，过等腰△ABC三边的中点D、F、G作⊙O，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若∠B=72°，则∠BDH=（　　）

A．32°

B．34°

C．36°

D．72°

Answer 1

分析：连接AD、GD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=AG，根据等边对等角可得∠BAD=∠ADG，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BGD，然后求出AD经过圆心，判断出BC是⊙O的切线，再根据弦切角定理可得∠BDH=∠BGD．

解答：解：如图，连接AD、GD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B=72°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-72°=18°，
∵G是AB的中点，
∴DG=AG，
∴∠BAD=∠ADG，
∴∠BGD=∠BAD+∠ADG=18°+18°=36°，
∵G、F分别是AB、AC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
∴AD垂直平分GF，
∴AD经过圆心O，
∴∠BDH=∠BGD=36°．
故选C．

点评：本题考查了圆的综合题，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的对称性，弦切角定理，作辅助线构造出直角三角形和等腰三角形并判断出AD经过圆心O是解题的关键．