题目内容
(2013•梧州一模)已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,交AB于E,则CD的长是
7
2 |
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.2 |
分析:根据圆周角定理及勾股定理可得AD的长,过E作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,F,G是垂足,则四边形CFEG是正方形,设EF=EG=x,由三角形面积公式可求出x的值,及CE的值,根据△ADE∽△CBE,根据相似比可求出DE的长,进而求出CD的长.
解答:解:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=10cm,AC=6cm,
∴BC=
=
=8(cm),
∵CD平分∠ACB,
∴
=
,
∴AD=BD,
∴AD=BD=
AB=5
(cm),
过E作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,F,G是垂足,则四边形CFEG是正方形,
设EF=EG=x,
∴
AC•x+
BC•x=
AC•BC,
∴
×6•x+
×8×x=
×6×8,
∴x=
,
∴CE=
x=
,
∵∠DAB=∠DCB,
∵△ADE∽△CBE,
∴DE:BE=AE:CE=AD:BC,
∴DE:BE=AE:
=5
:8,
∴AE=
,BE=AB-AE=10-
=
,
∴DE=
,
∴CD=CE+DE=
+
=7
(cm).
∴∠ACB=90°,
∵AB=10cm,AC=6cm,
∴BC=
AB2-AC2 |
102-62 |
∵CD平分∠ACB,
∴
AD |
BD |
∴AD=BD,
∴AD=BD=
| ||
2 |
2 |
过E作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,F,G是垂足,则四边形CFEG是正方形,
设EF=EG=x,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴x=
24 |
7 |
∴CE=
2 |
24 |
7 |
2 |
∵∠DAB=∠DCB,
∵△ADE∽△CBE,
∴DE:BE=AE:CE=AD:BC,
∴DE:BE=AE:
24 |
7 |
2 |
2 |
∴AE=
30 |
7 |
30 |
7 |
40 |
7 |
∴DE=
25 |
7 |
2 |
∴CD=CE+DE=
24 |
7 |
2 |
25 |
7 |
2 |
2 |
点评:本题综合考查了圆周角定理,垂径定理,角平分线的性质,及相似三角形的性质.解答此题的关键是作出辅助线,构造正方形.
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