Question

8．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，AD⊥BC于点D，点M是AB边上的点，且BM=$\frac{1}{3}$AB，过点M作MN∥BC交AD于点E，交AC于点N．
（1）求ME的长；
（2）将图中的△AMN以每秒1个单位长度的速度沿线段AB从点A向点B平移，当点A与点B重合时停止移动，△AMN运动的时间为t秒，△AMN与四边形BDEM重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）将图中的△AMN绕点E逆时针旋转，设直线AE与直线BC交于点O．在△AMN旋转过程中，是否存在这样的点O，使△BOE为等腰三角形？若存在，请求出此时△AMN绕E逆时针旋转的旋转角α的大小（0°＜α≤180°）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得到三角形的高，再根据三角形相似得到比例式求出AM，代入含30°的直角三角形中计算即可；
（2）分三种情况讨论，根据三角形相似，计算出相应图形的底和高，代入相应图形的面积公式即可得到结果；
（3）当△AMN绕点O①顺时针旋转15°，②顺时针旋转60°，③逆时针旋转30°，④逆时针旋转75°时，△CPQ为等腰三角形．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
又∵AD⊥BC，
∴$∠MAE=\frac{1}{2}∠BAC=30°$，
∴MN∥BC，AD⊥BC，
∴∠AEM=∠ADB=90°，
∴$ME=\frac{1}{2}AM$．
∵△ABC的边长为6，BM=$\frac{1}{3}$AB，
∴BM=2，
∴AM=AB-BM=6-2=4，
∴ME=2；
（2）$s=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{t^2}+\sqrt{3}t$（0≤t≤2）；  
$s=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{t^2}+2\sqrt{3}t+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（2＜t≤3）；
$s=-\sqrt{3}t+5\sqrt{3}$（3＜t≤4）；
$s=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}-3\sqrt{3}t+9\sqrt{3}$（4＜t≤6）．
（3）由题意得：∠MEB=∠MBE=∠DBE=30°，∠BED=60°．
（ⅰ）当BE=BO，且点O在点B右边时（答图1），

∵BE=BO，
∴∠BEO=∠BOE，
∵∠EBD=30°，
∴∠BEO=75°，
∴∠DEO=15°，
∴α=15°，
当BE=BO，且点O在点B左边时（答图2），

∵OB=EB，
∴∠BOE=∠BEO=15°，
∴∠OEM=15°，
∴α=90°+15°=105°
（ⅱ）当EB=EO时（答图3），

∵EB=EO，
∴∠EBO=∠EOB=30°，
∴∠BEO=120°，
∴∠DEO=60°，
∴α=60°． 
（ⅲ）当OB=OE时（答图4），

∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO=30°，
∴α=90°+30°+30°=150°．
综上所述：存在这样的点O，使△BOE为等腰三角形，
此时旋转角α的大小为15°或105°或60°或150°．

点评 本题考查了图形的变换-平移，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意分类讨论是解题的关键．