题目内容
【题目】对于平面内的点
和点
，给出如下定义：点
为平面内一点，若点使得
是以
为顶角且小于90°的等腰三角形，则称点是点关于点的锐角等腰点．如图，点是点关于点的锐角等腰点．
在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点
(1)已知点
，在点
，
，
，
中，是点
关于点
的锐角等腰点的是 ；
(2)已知点
，点
在直线
上，若点是点关于点
的锐角等腰点，求实数
的取值范围．
(3) 点
是
轴上的动点，
，
，点
是以点为圆心，2为半径的圆上一动点．且满足
，若直线
上存在点
关于点
的锐角等腰点，请直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）直接根据锐角等腰点的概念和等腰三角形的性质逐一判断即可；
（2）先以
为圆心，
为半径画圆，然后根据数形结合，找到两个临界点，一个临界点是直线刚好与圆相切时，另一个临界点是直线刚好过点时，分别求出相应的b的值，即可确定b的范围；
（3）根据题意，找到两个临界点，当点E,F在直线
左侧时，过点E作
于点M， 过点M作
于点N，过点F作
于点G，当
时，利用全等三角形的判定及性质求解；当点E,F在直线右侧时，
，且直线
与圆相切时，设切点为点K，过点K作
于点M，利用三角函数和勾股定理求解．
（1）
，
∴
，
∴等腰三角形的腰长为2．
∵
，
，且
是锐角，满足条件，
∴是点
关于点
的锐角等腰点；
∵
，
，但是直角，不满足条件，
∴
不是点关于点的锐角等腰点；
∵
，
，不满足条件，
∴
不是点关于点的锐角等腰点；
∵
，
，不满足条件，
∴
不是点关于点的锐角等腰点；
综上所述，是点关于点的锐角等腰点的是；
(2) 以为圆心，为半径画圆，
当直线与圆相切时，设切点为点D，过点D作
于点E，
令
，则
，令
，则
，解得
，
∴
，
．
，
，
．
，
，
．
设
，
，
，
解得
，
，
，
．
将点D代入中得，
，
解得
；
当直线过G点时，此时
，
将点G代入中得，
，
解得
，
∴实数
的取值范围为；
(3) 当点E,F在直线左侧时，过点E作于点M， 过点M作于点N，过点F作于点G，
当时，
∵，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
将点M代入中得，
，
当
时，直线上存在点
关于点
的锐角等腰点，
，
；
当点E,F在直线右侧时，，且直线与圆相切时，设切点为点K，过点K作于点M，
令，则
，令，则
，解得
，
∴
，
．
，
，
．
，
，
．
设
，
，
，
解得
，
，
，
．
将点M代入中得，
，
解得
；
综上所述，直线上存在点关于点的锐角等腰点，t的取值范围为
．
