Question

17．一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是108°或90°或36°或$\frac{180°}{7}$．

Answer 1

分析 因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状，故应该分四种情况进行分析，从而得到答案．

解答 解：（1）如图1，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．

（2）如图2，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，AD=BD=CD，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB
∴∠BAC=2∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．

（3）如图3，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，BD=AD=BC，
∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C
∵∠BDC=2∠A，
∴∠C=2∠A=∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．

（4）如图4，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠BAC的度数．
假设∠A=x，AD=BD，
∴∠DBA=x，
∵AB=AC，
∴∠DBC=$\frac{180°-x}{2}$-x，
CD=BC，
∴∠BDC=2x=∠DBC=$\frac{180°-x}{2}$-x，
解得：x=$\frac{180°}{7}$．
故答案为：108°或90°或36°或$\frac{180°}{7}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．