Question

10．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为（$\frac{4}{3}，0$）．

Answer 1

分析 先用待定系数法求出直线AB的解析式，由对称的性质得出AP⊥AB，求出直线AP的解析式，然后求出直线AP与x轴的交点即可．

解答 方法一：解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（0，2），B（3，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=2，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+2；
∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）
∴线段BB′的中点坐标为（$\frac{a+3}{2}$，2）
∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）
∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线
∴AP⊥AB，
∴设直线AP的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+c，
把点A（0，2）代入得：c=2，
∴直线AP的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+2，
当y=0时，-$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{4}{3}，0$）；
故答案为：（$\frac{4}{3}，0$）．
方法二：
解：如图，连接AB、AB′
∵A（0，2），B（3，4）
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$
∵点B与B′关于直线AP对称
∴AB′=AB=$\sqrt{13}$，
在Rt△AOB′中，B′O=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{O}^{2}}$=3
∴B′点坐标为（-3，0）
设直线BB′方程为y=kx+b
将B（3，4），B′（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{2}{3}$，b=2
∴直线BB′的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+2，
∴直线AP的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+2，
当y_AP=0时，-$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{4}{3}，0$）；
故答案为：（$\frac{4}{3}，0$）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线AB的解析式进一步求出直线AP的解析式是解决问题的关键．