Question

10．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．
（1）当t=1时，求点D的坐标；
（2）设△POD的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）在P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△PBE为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，先证明△APB≌△DQP，得AP=DQ，由此即可解决问题．
（2）首先证明△APB≌△DQP，得AP=DQ，再根据S_△POD=$\frac{1}{2}$×OP×DQ即可解决问题．
（3）如图2中，连接BO交PE于G．先证明△PBD是等腰直角三角形，再分两种情形①BP=BE，②EB=EP求解即可．

解答 解：（1）如图1中，

t=1时，AP=OQ=1，
∴AO=PQ，
∵四边形AOCB是正方形，
∴AB=AO=PQ，
∵∠BPD=∠DQP=90°，
∴∠APB+∠DPQ=90°，∠DPQ+∠PDQ=90°，
∴∠APB=∠PDQ，
在△PAB和△DQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDQ}\\{∠PAB=∠DQP=90°}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△DQP，
∴PA=DQ=1，
∴点D坐标（1，1）．

（2）AP=OQ=t，
∴AO=PQ，
∵四边形AOCB是正方形，
∴AB=AO=PQ，
∵∠BPD=∠DQP=90°，
∴∠APB+∠DPQ=90°，∠DPQ+∠PDQ=90°，
∴∠APB=∠PDQ，
在△PAB和△DQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDQ}\\{∠PAB=∠DQP=90°}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△DQP，
∴PA=DQ=t，
∴S_△POD=$\frac{1}{2}$×OP×DQ=$\frac{1}{2}$×（4-t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+2t．（0＜t≤4）．

（3）如图2中，连接BO交PE于G．

∵△PAB≌△DQP，
∴PB=PD，∵∠BPD=90°，
∴∠PBD=∠PDB=45°，
∵△PBE是等腰三角形，
∴有两种可能①BP=BE，②BE=PE，
①当BP=BE时，在Rt△BAP和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BE}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△BCE，
∴AP=EC，∵OA=OC，∠ABP=∠CBE=22.5°，
∴OP=OE．
∴OB垂直平分线段PE，
∴∠PBO=∠EBO=22.5°，
∴∠PBA=∠PBO，
∵PA⊥AB，PG⊥BO，
∴PA=PG，
∵∠AOB=45°，
∴∠GPO=∠GOP=45°，
∴PA=PG=GO，
设PA=PG=GO=x，则OP=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=4，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
∴t=4$\sqrt{2}$-4，
②EB=PE时，点P与点O重合，此时t=4，
综上所述t=4$\sqrt{2}$-4或4秒时，△PBE是等腰三角形．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会分类讨论，属于中考常考题型．