如图1.在直角坐标系xOy中.正方形OCBA的顶点A.C分别在y轴.x轴上.点B坐标为(6.6).抛物线y=ax2+bx+c经过点A.B两点.且3a-b=-1．(1)请求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式,(2)如果动点E.F同时分别从点A.点B出发.分别沿A→B.B→C运动.速度都是每秒1个单位长度.当点E到达终点B时.点E.F随之停止运动．设运动时间为t秒.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B两点，且3a-b=-1．
（1）请求出二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．
①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）根据点A、B的坐标和3a-b=1利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）①运动开始t秒时，EB=6-t，BF=t，根据三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式，利用配方法即可得出最值问题；
②假设存在，结合①可得出点E、F的坐标，分别以BE、BF、EF为对角线根据平行四边形的性质求出点R的坐标，再由点R在抛物线上利用二次函数图象上的坐标特征确定点R的坐标，此题得解．

解答解：（1）已知点A（0，6），B（6，6）在抛物线上，且3a-b=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=c}\\{6=36a+6b+c}\\{3a-b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{9}}\\{b=\frac{2}{3}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+6．
（2）①运动开始t秒时，EB=6-t，BF=t，
S=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（6-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+3t=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$．
当t=3时，S有最大值$\frac{9}{2}$．
②假设存在，当S取得最大值时，由①知t=3，
∴点E（3，6），点F（6，3）．
以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图）：
（i）以BE为对角线时，
∵点B（6，6），点E（3，6），点F（6，3），
∴点R（6+3-6，6+6-3），即（3，9）；
（ii）以BF为对角线时，
∵点B（6，6），点E（3，6），点F（6，3），
∴点R（6+6-3，6+3-6），即（9，3）；
（iii）以EF为对角线时，
∵点B（6，6），点E（3，6），点F（6，3），
∴点R（6+3-6，6+3-6），即（3，3）．
∵点R在抛物线y=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+6上，
∴点R的坐标为（9，3）．
故抛物线上存在点R（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、二次函数的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S关于t的函数关系式；②利用平行四边形的性质求出点R的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质对角线互相平分结合三个顶点的坐标求出第四个顶点的坐标是关键．