题目内容

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线AC的解析式为y=- $数学公式$ x+2，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

解：（1）∵直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+2，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A，
∴A（0，2），C（4，0），
∴OC=4，
∵三角形OBD是等腰直角三角形，

∴B（2，2）；

（2）∵等腰三角形OBD是轴对称图形，对称轴是l
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，
把x=2代入y=- $\text{[math]}$ x+2，得y=1，
∴点P的坐标为（2，1）；

（3）设满足条件的点Q的坐标为（m， $\text{[math]}$ m+2），
由题意得 $\text{[math]}$ m+2=m或 $\text{[math]}$ m+2=-m，
解得m= $\text{[math]}$ 或m=-4，
∴点Q的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（-4，4）．
分析：（1）首先根据直线AC的解析式即可求出A、C两点坐标，也就求出了OA、OC的长度，而三角形OBD是等腰直角三角形OBD，接着利用勾股定理和等腰直角三角形即可求出B的坐标；
（2）由于等腰三角形OBD是轴对称图形，对称轴是l，因此得到点O与点C关于直线l对称，所以得到直线AC与直线l的交点即为所求的点P，把x=2代入y=- $\text{[math]}$ x+2即可求出P的坐标；
（3）可以设满足条件的点Q的坐标为（m， $\text{[math]}$ m+2），然后根据到两坐标轴距离相等可以列出方程，然后解方程即可求出m．
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的性质及直线上的点的坐标特点以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．