Question

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=4

2

，AB=6．
求：（1）tan∠A的值；
（2）sin∠ACD+sin∠BCD的值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，利用勾股定理求得直角边BC=2，然后利用直角三角形中的锐角三角函数的定义求得tan∠A的值；
（2）利用等角的余角相等求得∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，所以问题就转为在直角三角形ABC中，求sin∠A+sin∠B的值；然后根据直角三角形中的锐角三角函数的定义求sin∠A+sin∠B的值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4

2

，AB=6，
∴根据勾股定理，得
BC=

AB2-AC2

=

36-32

=2，
∴tan∠A=

BC

AC

=

2

4 2

=

2

4

，即tan∠A=

2

4

；

（2）∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠A=∠BCD；
同理的，得
∠B=∠ACD，
∴sin∠ACD+sin∠BCD=sin∠A+sin∠B=

BC

AB

+

AC

AB

=

2

6

+

4 2

6

=

1+2 2

3

，即sin∠ACD+sin∠BCD=

1+2 2

3

．

点评：本题考查了解直角三角形．熟练掌握好边角之间、边与边之间的关系是解决本题的关键．