题目内容
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A.
(1)观察图形,猜想BD与⊙O的位置关系:
(2)证明第(1)题的猜想.
(1)观察图形,猜想BD与⊙O的位置关系:
相切
相切
;(2)证明第(1)题的猜想.
分析:(1)观察图形,可得BD与⊙O的位置关系:相切;
(2)首先连接OD,由AE是⊙O的直径,在Rt△ABC中,∠C=90°,易证得DE∥BC,又由∠CBD=∠A,可证得∠ODE+∠EDB=90°,即可证得结论.
(2)首先连接OD,由AE是⊙O的直径,在Rt△ABC中,∠C=90°,易证得DE∥BC,又由∠CBD=∠A,可证得∠ODE+∠EDB=90°,即可证得结论.
解答:(1)解:相切.
故答案为:相切.
(2)证明:连接OD,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠A+∠AED=90°,
∵∠C=90°,
∴∠ADE=∠C,
∴DE∥BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∵∠CBD=∠A,
∴∠EDB=∠A,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE+∠EDB=90°,
即OD⊥BD,
∴BD与⊙O的位置关系是相切.
故答案为:相切.
(2)证明:连接OD,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠A+∠AED=90°,
∵∠C=90°,
∴∠ADE=∠C,
∴DE∥BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∵∠CBD=∠A,
∴∠EDB=∠A,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE+∠EDB=90°,
即OD⊥BD,
∴BD与⊙O的位置关系是相切.
点评:此题考查了切线的判定以及平行线的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.
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