题目内容
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,M是AC的中点,连接BM,CF⊥MB,F是垂足,延长CF交AB于点E.求证:∠AME=∠CMB.分析:可以分两种作法:
(1)过A作CB的平行线交CE的延长线于点N.可证明△NAC≌△MCB以及△AME≌△ANE,从而得出∠AME=∠CMB;
(2)作∠ACB的平分线交BM于点N.可以证明△AEC≌△CNB以及△AME≌△CMN,即可得出∠AME=∠CMB.
(1)过A作CB的平行线交CE的延长线于点N.可证明△NAC≌△MCB以及△AME≌△ANE,从而得出∠AME=∠CMB;
(2)作∠ACB的平分线交BM于点N.可以证明△AEC≌△CNB以及△AME≌△CMN,即可得出∠AME=∠CMB.
解答:证明:
证法一:过A作CB的平行线交CE的延长线于点N.
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵AN∥BC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中
∴△NAC≌△MCB(A.S.A)
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中点∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵AN∥BC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中
,
∴△AME≌△ANE(S.A.S)
∴∠AME=∠N,
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB;
证法二:作∠ACB的平分线交BM于点N.
∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC<∠ABC=45°
∴N点在线段BF上.
∵CN是∠ACB的平分线
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中
∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中点
∴AM=MC
在△AME和△CMN中
∴△AME≌△CMN,
∴∠AME=∠CMB.
证法一:过A作CB的平行线交CE的延长线于点N.
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵AN∥BC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中
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∴△NAC≌△MCB(A.S.A)
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中点∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵AN∥BC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中
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∴△AME≌△ANE(S.A.S)
∴∠AME=∠N,
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB;
证法二:作∠ACB的平分线交BM于点N.
∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC<∠ABC=45°
∴N点在线段BF上.
∵CN是∠ACB的平分线
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中
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∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中点
∴AM=MC
在△AME和△CMN中
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∴△AME≌△CMN,
∴∠AME=∠CMB.
点评:本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质,要注意一题多解.
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