题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线
分别交
轴、
轴于
、
两点,且
,
满足
，且
，
是常数。直线
平分
，交轴于
点。
(1)若的中点为
，连接
交于
，求证：
；
(2)如图2，过点
作
，垂足为
，猜想
与间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3,在轴上有一个动点
(在点的右侧),连接
,并作等腰
,其中
，连接
并延长交轴于
点，当点在运动时，
的长是否发生改变?若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度.
【答案】(1)见解析； (2)
.证明见解析； (3)
的长不变，且
.
【解析】
（1）根据非负数的性质求出点A、B的坐标，然后得出△AOB是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质OM⊥AB，再根据角平分线的定义求出∠ABD=22.5°，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OND=67.5°，∠ODB=67.5°，利用等角对等边得到ON=OD；
（2）延长AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC=2AE，再证△OAC≌△OBD得到BD=AE，从而得到BD=2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足为H，利用角角边定理可以证明△OBP与△HPF全等，根据全等三角形对应边相等可得FH=OP、PH=OB=4t，再证FH=AH，∠FAH=∠GAO=45°，OG=OA=4t．即可得到结论．
（1）∵直线
分别交
轴、
轴于
、
两点，且
，
满足
，且
，
，
当
时，
，
当
时，
，
解得：
，
点
，
的坐标是
，
，
是等腰直角三角形．
∵点
是中点，
，
，
∵直线
平分
，
，
，
，
，
（等角对等边）；
（2）答：．
理由如下：延长
交
于
，
平分，
，
于点
，
，
在△ABE和△CBE中，∵∠ABD=∠CBD，BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°，
，
，
，
，
，
又∵
，
（对顶角相等），
，
在
与
中，∵
，
，
，
；
（3）的长不变，且．
过
作
，垂足为
，
．
，
，
．
是等腰直角三角形，
．
在
与
中，∵∠BPO=∠PFH，∠BOP=∠PHF=90°，BP=PF，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
