Question

已知a₁，a₂，…，a₂₀₀₂的值都是1或-1，设m是这2002个数的两两乘积之和．
（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．

Answer 1

分析：（1）由于（a₁+a₂+…+a₂₀₀₂）²=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₂²+2m=2002+2m，可得m=

(a1+a2+…+a2002)2-2002

2

．a₁+a₂+…+a₂₀₀₂
=2002时，m有最大值，a₁+a₂+…+a₂₀₀₂=0时，m有最小值，最大值应为2003001，最小值应为57．
（2）找到最小的比2002大的偶数完全平方数，即当这2002个数中有1024个1，978个-1时，或者有978个1，1024个-1时取得最小正值．

解答：解：（1）（a₁+a₂+…+a₂₀₀₂）²=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₂²+2m=2002+2m，
m=

(a1+a2+…+a2002)2-2002

2

．
当a₁=a₂=…=a₂₀₀₂=1或-1时，m取最大值2003001．
当a₁，a₂，a₂₀₀₂中恰有1001个1，1001个-1时，m取最小值-1001．
（2）因为大于2002的最小完全平方数为45²=2025，且a₁+a₂+…+a₂₀₀₂必为偶数，
所以，当a₁+a₂+…+a₂₀₀₂=46或-46；
即a₁，a₂，a₂₀₀₂中恰有1024个1，978个-1或恰有1024个-1，978个1时，
m取最小值

1

2

(462-2002)=57．

点评：本题考查了完全平方数和多项式的乘法，解题的关键是将由（a₁+a₂+…+a₂₀₀₂）²=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₂²+2m=2002+2m，得到m=

(a1+a2+…+a2002)2-2002

2

，有一定的难度．