Question

如图，已知A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₂是x轴上的点，且0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₂作x轴的垂线交二次函数y=x²（x≥0）的图象于点P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₂，若△OA₁P₁的面积为S₁，过点P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于点B₁，记△P₁B₁P₂的面积为S₂，过点P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于点B₂，记△P₂B₂P₃的面积为S₃，…依次进行下去，最后记△P₂₀₁₁B₂₀₁₁P₂₀₁₂的面积为S₂₀₁₂₁，则

s1+s2+s3+…+s2012

等于（　　）

• A．1005

  2

• B．

  2011 2

  2

• C．1006

  2

• D．

  2013 2

  2

Answer 1

分析：解答这道题，需要找出S₁、S₂、S₃、…S_n之间的关系，通过图示可以发现：0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，即这些直角三角形的一条直角边是相等的，所以只需找出它们的另一条直角边之间的关系即可；P₁A₁=1²=2-1、P₂B₁=2²-1²=2×2-1、P₃B₂=3²-2²=5=2×3-1、…、P_nB_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，所以在解答

s1+s2+s3+…+s2012

时，只需应用一次等差数列的前n项和即可．

解答：解：∵0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，
即：A₁（1，0）、A₂（2，0）、A₃（3，0）、…A_n（n，0），
∴P₁A₁=1²=2-1
  P₂B₁=2²-1²=2×2-1
  P₃B₂=3²-2²=5=2×3-1
  …
  P_nB_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
∴

s1+s2+s3+…+s2012

=

1 2 ×1×(1+3+5+…+4023)

=

1 2 × (1+4023)×2012 2

=1006

2

故选C．

点评：考查了二次函数综合题．解答此类规律型题目，关键是找出问题中的规律，在此题中，找出各直角三角形高之间的关系是解答题目的关键．另外，等差数列前n项的求和公式（S_n=

(a1+an)n

2

）需要牢记．