题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣
+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M．
（1）求该抛物线的表达式与点M的坐标；
（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D．
①求点A随抛物线平移后的对应点坐标；
②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标．
【答案】（1）
；顶点M的坐标是：(2，6)；（2）①点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，
)．
【解析】
（1）根据抛物线y＝﹣
+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；
（2）①根据新抛物线的对称轴l经过点A，可得新抛物线的顶点为(-2,k)，设平移后新抛物线的解析式为
，可得C点坐标，由面积列方程求出k，从而可以得到点A随抛物线平移后的对应点坐标；
②根据题意和正方形的性质，设F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．将E代入（2）的解析式中即可求出a，继而解题．可以求得点F的坐标．
解：（1）将A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入
中，
解得
∴该抛物线的表达式为：；
∵y＝
x2+2x+4＝(x﹣2)2+6，
∴顶点M的坐标是：(2，6)；
（2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A(﹣2，﹣2)，
∴可设平移后的抛物线表达式为：，
∴C(0，﹣2+k)．
∴
，
解得，k＝3．
∴
，
即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线．
∴点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；
②设EG与DF的交点为H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH．
∵点E、G是这条抛物线上的一对对称点，
∴EG∥x轴．
∴DF⊥x轴，
设F(﹣2，2a)．
∵点F在第二象限内，
∴a＞0．
∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a．
不妨设点E在点G的右侧，那么E(﹣2+a，a)．
将点E代入，得
，
解得，
，
(不合题意，舍去)．
∴F(﹣2，)．
