Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，连接AC、BC，tan∠CAO=

4

3

，tan∠CBO=

1

2

，AB=5．
（1）求点C的坐标；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B匀速运动，过点P作PH⊥BC于点H，直线PH与CA的延长线交于点E，设PE的长为y（y≠0），点P的运动时间为t秒，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当

AE

CE

=

1

3

时，求t的值，并判断此时以点B为圆心，以PE长为半径的⊙B与直线PH的位置关系，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正切三角形函数的定义和OB=OA+AB求得OC=4，从而求得点C的坐标．
（2）易证△ABC是等腰三角形，所以根据等腰三角形“三合一”的性质作辅助线AF⊥BC于点F，则AF∥EP．所以由平行线分线段成比例来求y与t的函数关系式即可；
（3）由已知条件易证

CA

CE

=

2

3

．然后根据（2）中的“平行线截线段成比例”列出比例式

CA

CE

=

CF

CH

、

HP

AF

=

BP

AB

，然后将相关数值代入来求t的值；通过计算PE=BH=

5

，所以BH是⊙B的半径，又由PH⊥BH知，以PE长为半径的⊙B与直线PH相切．

解答：解：（1）∵tan∠CAO=

4

3

，tan∠CBO=

1

2

，AB=5，
∴

CO

OA

=

4

3

，

OC

OA+AB

=

1

2

，
∴OC=4，OA=3．
又∵点C在y轴上，
∴点C的坐标是：C（0，4）；

（2）由（1）知，OC=4，OA=3，则在Rt△OAC中，由勾股定理求得AC=5．
∵AB=5，
∴AC=AB=5，
∴在Rt△OBC中，OC=4，OB=8，根据勾股定理求得BC=4

5

．
如图1，过点A作AF⊥BC于点F．则CF=BF=2

5

．
∴在Rt△ABF中，AF=

AB2-BF2

=

52-(2 5 )2

=

5

．
∵PE⊥BC，
∴AF∥EH．
∴

AF

EH

=

CF

CH

，即

5

y+ 1 2 BH

=

2 5

4 5 -BH

，①

BP

AB

=

BH

BF

，即

5-2t

5

=

BH

2 5

，②
由①②求得，y=

4 5

5

t（0＜t≤

5

2

）；

（3）∵

AE

CE

=

1

3

，
∴

CA

CE

=

2

3

．
由（2）知，AF∥EH．则

CA

CE

=

CF

CH

，即

2

3

=

2 5

4 5 -BH

，解得BH=

5

．
又

HP

AF

=

BP

AB

，即

1 2 × 5

5

=

5-2t

5

，
解得，t=

5

4

．
此时，直线PH与⊙B相切．理由如下：
∵由（2）知，y=

4 5

5

t，
∴PE=

4 5

5

×

5

4

=

5

，
∴PE=BH=

5

，即BH是⊙B的半径．
又∵PH⊥BH，
∴PH与⊙B相切．

点评：本题考查了圆的综合题．解答该题时，用到了坐标与图形的性质、平行线截线段成比例、切线的判定与性质等知识点．在解答（2）题时，也可以利用相似三角形的判定与性质来求y与t的函数关系式．