题目内容

如图，在平面直角坐标系，直线y=- $数学公式$ （x-6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长；
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，当点N运动到什么位置时，S₁•S₂的值最大，并求出此时点N的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．

解：（1）令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
所以A（6，0），D（0，8）．
并且有AD=10．
∵将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，
∴AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，
即4：8=DB：10，
∴DB=5．

（2）设N（x，y）．
s₁= $\text{[math]}$ ×5•x= $\text{[math]}$ x，s₂= $\text{[math]}$ ×6•y=3y，
s₁•s₂= $\text{[math]}$ x•3y= $\text{[math]}$ xy= $\text{[math]}$ •（- $\text{[math]}$ +8）=-10x²+60x．
当x=3时最大值为90．
则y=- $\text{[math]}$ （x-6）=4，
∴N（3，4），
∵A（6，0），D（0，8）．
∴N是AD的中点．

（3）∵△MAC为直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，则M与B重合，因为BD=5，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5-8=4.5，
∴M（0，-4.5）．
分析：（1）因为直线y=- $\text{[math]}$ （x-6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，所以可求A（6，0），D（0，8），并且有AD=10．
根据将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，可得AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．并且可得到三角形DBC∽三角形DAO．利用相似三角形对应边的关系即可求出4：8=DB：10，DB=5．
（2）可设N（x，y）．
因为s₁= $\text{[math]}$ ×5•x= $\text{[math]}$ x，s₂= $\text{[math]}$ ×6•y=3y，
s₁•s₂= $\text{[math]}$ x•3y= $\text{[math]}$ xy= $\text{[math]}$ •（- $\text{[math]}$ +8）=-10x²+60x，
利用二次函数最值的求法即可求出当x=3时最大值为90，并且此时N（3，4）是AD的中点．
（3）因为△MAC为直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情况讨论：
若∠MCA=90°则M与B重合，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，DM：AD=AD：OD，
DM：10=10：8，所以DM=12.5，OM=12.5-8=5.5．
M（0，-5.5）．
点评：本题需仔细分析题意，结合图象．利用相似三角形的性质和分情况讨论的思想即可解决问题．