Question

5．已知直线l：y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=8-2x交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若直线l₁经过原点且将△AOB分成面积相等的两部分，求出这条直线l₁的函数表达式；
（3）若直线l₂经过点M（1，0）交直线l于D点，且S_△AMD=$\frac{1}{3}$S_△AOC，求直线l₂的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=8-2x交于点C，根据坐标轴上点的坐标特征可确定A、B、C的坐标；
（2）若直线l₁经过原点且将△AOB分成面积相等的两部分，直线l₁恰好经过AB的中点，求得AB的中点坐标，利用待定系数法求得函数解析式即可；
（3）设D点坐标为（x，2x+4），利用三角形的面积求法和S_△AMD=$\frac{1}{3}$S_△AOC，建立方程求得点D坐标，进一步利用待定系数法求得函数解析式即可．

解答 解：（1）如图，

直线y=2x+4与x轴交于点A，
当x=0时，y=4，则B（0，4），
当y=0时，2x+4=0，解得x=-2，则A（-2，0），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=8-2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，则C（2，6）；
（2）如图，

∵直线l₁经过原点且将△AOB分成面积相等的两部分，
∴OG是△AOB的中线，
∴G点坐标为（$\frac{-2+0}{2}$，$\frac{0+4}{2}$），即（-1，2），
设l₁=kx，
代入点G得k=-2，
∴这条直线l₁的函数表达式为l₁=-2x．
（3）如图，

设D点坐标为（x，2x+4），
∵S_△AMD=$\frac{1}{3}$S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×（2x+4）=$\frac{1}{2}$×2×6
解得：x=0，
D点坐标为（0，4），
设l₂=kx+b，
代入点（0，4）和点M（1，0）得出l₂=-4x+4．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了三角形面积公式．