Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC的中点．若动点E以2cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t≤3），连接EF，当t为1s或3s或$\frac{7}{4}$s或$\frac{9}{4}$s时，△BEF是直角三角形．

Answer 1

分析 先利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2$\sqrt{3}$，AB=4，然后讨论：当∠BFE=90°时，则EF∥AC，则可利用EF为△ABC的中位线得到AE=$\frac{1}{2}$AB=2，于是可计算出t=1（s）或t=3（s）；当∠FEB=90°，则证明△BEF∽△BCA，利用相似比可计算出BE=$\frac{1}{2}$，则AE=$\frac{7}{2}$，于是可计算出t=$\frac{7}{4}$（s）或t=$\frac{9}{4}$（s）．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，AB=2BC=4，
当∠BFE=90°时，则EF∥AC，
∵F是BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴t=$\frac{2}{2}$=1（s）或t=$\frac{4+2}{2}$=3（s）；
当∠FEB=90°，
∵∠FBE=∠ABC，∠BEF=∠C，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BF}{BA}$，即$\frac{BE}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得BE=$\frac{1}{2}$，
∴AE=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴t=$\frac{\frac{7}{2}}{2}$=$\frac{7}{4}$（s）或t=$\frac{4+\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$（s），
综上所述，t的值为1s或3s或$\frac{7}{4}$s或$\frac{9}{4}$s．
故答案为1s或3s或$\frac{7}{4}$s或$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．