Question

已知直线分别交轴、轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）．

（1）直接写出＝1秒时C，Q两点的坐标；

（2）若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．

 

Answer 1

（1）①C（1，2），Q（2，0）．　　　　　　　　　　　　　…………………………2分

②由题意得：P（t，0），C（t，－ｔ＋3），Q（3－t，0），

分两种情形讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA．……………4分

∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即3－t＝t，∴t＝1.5．………………6分

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形．　　　　　　…………………………8分

∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即t ＝2（－t ＋3），∴t＝2．　…………………………10分

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．