Question

15．如图，抛物线y=ax²+$\frac{5}{2}$x-2与x轴相交于点A（1，0）与点B，与y轴相交于点C，直线CD∥x轴，在CD上有一动点Q，过点Q作平行线于y轴的直线PQ与抛物线交点为P，设点P的横坐标为t，连接CP、PB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当1＜t＜4时，求△CBP面积的最大值；
（3）当t＞4时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入抛物线的解析式求得a的值即可；
（2）如图1所示：先求得A（1，0），B（4，0）、C（0，-2），然后求得BC的解析式，设点P的坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2），则点E（t，$\frac{1}{2}$t-2）．则PE=-$\frac{1}{2}$t²+2t，然后列出△CBP的面积与t的函数关系式，最后利用配方法求解即可；
（3）由题意可知tan∠OCA=$\frac{1}{2}$，则∠PCQ=$\frac{1}{2}$或∠PCQ=2，设点Q的坐标为（t，-2），则点P的坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2）则CQ=t，PQ=|-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t，然后依据锐角三角函数的定义列方程求解即可．

解答 解：（1）将x=1代入得：a+$\frac{5}{2}$-2=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．
（2）如图1所示：

令y=0得：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=0，解得：x=1或x=4，
∴点A（1，0），B（4，0）．
当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2）．
设直线BC的解析式为y=kx-2，将点B的坐标代入得：4k-2=0，解得：k=$\frac{1}{2}$．
设直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
设点P的坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2），则点E（t，$\frac{1}{2}$t-2）．则PE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-$\frac{1}{2}$t+2=-$\frac{1}{2}$t²+2t．
∴△CBP的面积=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）=-t²+4t-4+4=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△CBP的面积最大，最大值为4．
（3）∵AO=1，OC=2，
∴tan∠OCA=$\frac{1}{2}$．
∵C、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似，
∴∠PCQ=$\frac{1}{2}$或∠PCQ=2．
设点Q的坐标为（t，-2），则点P的坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2）．
∴CQ=t，PQ=|-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t|．
∴$\frac{|-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{5}{2}t|}{t}$|=2或$\frac{|-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{5}{2}t|}{t}$|=$\frac{1}{2}$．
解得t=1或t=9或t=4或t=6．
∵t＞4，
∴t=6或t=9．
∴点P的坐标为（6，-5）或（9，-20）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、相似三角形的性质、二次函数的最值，列出△BCP的面积与t的函数关系式是解答问题（2）的关键，依据相似三角形的对应边之比为定值列出关于t的方程是解答问题（3）的关键．