Question

11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（-2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；
（3）若点C的坐标改为（0，a），其余条件不变，是否存在这样的点C使得∠ACB=45°？如果存在，请直接写出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AC和AB线段的垂直平分线交于点P，则点P即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）根据（1）可知：直线EF是线段AB的垂直平分线，则直线EF的解析式为：x=1，因为点P一定在直线EF上，所以点P的横坐标为1，设P（1，y），根据PA=PC及两点的距离公式列方程解出即可；
（3）如图3，存在，如图3，当点C在y轴的正半轴时，则a＞0，构建△ABC的外接圆⊙P，由∠ACB=45°，可知圆心角∠ACB=90°，则点P的坐标为（1，3），根据两点距离公式代入PA=PC中列方程可解出a的值，同理在y轴的负半轴上也有一点C符合条件，且a=-3-$\sqrt{17}$．

解答 解：（1）如图1，画△ABC的外接圆⊙P；

（2）如图2，∵A（-2，0）、B（4，0），
∴AB=4，直线EF的解析式为：x=1，
∴P的横坐标为1，
设P（1，y），
由PA=PC得：（1+2）²+（y-0）²=（1-0）²+（y-2）²，
解得：y=-1，
∴P（1，-1）；
（3）存在，
如图3，当点C在y轴的正半轴时，则a＞0，
作△ABC的外接圆⊙P，连接PA、PB、PC，过P作PD⊥x轴于D，
∴AD=BD，
∴AP=PB，
∵∠ACB=45°，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴AD=PD，
∵A（-2，0）、B（4，0），
∴P（1，3），
∵PA=PC，
则（1+2）²+（3-0）²=（1-0）²+（3-a）²，
解得：a₁=3+$\sqrt{17}$，x₂=3-$\sqrt{17}$（舍），
同理，在y轴的负半轴上还存在一点C，则a=-3-$\sqrt{17}$，
综上所述，a的值为3+$\sqrt{17}$或-3-$\sqrt{17}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了三角形的外接圆，明确三边垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心，叫外心，此题的解题思路为：①构建三角形的外接圆，利用45°的圆周角得到90°的圆心角，求外接圆圆心的坐标，②根据同圆的半径相等和两点距离公式列式求解．