Question

【题目】已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点.

求证：直线EF是半圆O的切线.

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

连接OF，CF，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFC=∠BFC=90°，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EF=EC，进而得到∠EFC=∠ECF，然后利用等量代换求证∠EFO=90°，得出OF⊥EF即可得证.

证明：如图，连接OF，CF，

∵AC是直径，

∴∠AFC=90°，

∴∠BFC=90°，

又∵E是BC的中点，

∴EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵OC=OF，

∴∠OFC=∠FCO，

∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，

∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，

∴OF⊥EF，

∴EF是⊙O的切线.