Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC-GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由．
（3）点Q是抛物线上的一个动点，以Q点为圆心，以

2

长为半径的⊙Q与直线BC相切，直接写出所有满足条件的Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出直线y=-x+3与x轴的交点B、与y轴的交点C的坐标，再将B、C两点的坐标代入y=ax²+bx+c，且根据抛物线的对称轴为直线x=2，列出方程组，解方程求出a、b、c的值，即可得到该抛物线的函数表达式；
（2）由于A、B两点关于抛物线的对称轴即直线x=2对称，所以G点为直线CA与直线x=2的交点，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，再令x=2，求出y的值，进而得出G点坐标；
（3）当以Q点为圆心，以

2

长为半径的⊙Q与直线BC相切时，圆心Q到直线BC的距离等于

2

．分两种情况：①Q点在直线BC下方时，先在y轴上取点D（0，1），过点D作DE⊥BC于E，则DE=

2

，过D点作BC的平行线l，交抛物线与点Q，运用待定系数法求出直线l的解析式，与抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组即可求出Q点坐标；②Q点在直线BC上方时，先在y轴上取点F（0，5），同理可求出Q点坐标．

解答：解：（1）∵y=-x+3，
∴当y=0时，-x+3=0，解得x=3，即点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，即点C的坐标为（0，3）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过B、C两点，且对称轴为直线x=2，
∴

9a+3b+c=0 c=3 - b 2a =2

，解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴该抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）延长CA，交对称轴于点G，连接GB，则|GC-GB|=GC-GA=AC最大．
∵抛物线y=x²-4x+3与x轴交于点A、点B（3，0），且对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∵A（1，0），C（0，3），
∴

k+m=0 m=3

，解得

k=-3 m=3

，
∴y=-3x+3，
当x=2时，y=-3×2+3=-3，
∴G点坐标为（2，-3）；

（3）分两种情况：
①Q点在直线BC下方时，在y轴上取点D（0，1），过点D作DE⊥BC于E，则△CDE是等腰直角三角形．
∵∠CED=90°，CD=3-1=2，
∴DE=CD•cos45°=

2

．
过D点作BC的平行线l，交抛物线与点Q．
∵直线BC的解析式为y=-x+3，
∴可设直线l的解析式为y=-x+n，
将D（0，1）代入，得n=1，
∴y=-x+1．
由

y=-x+1 y=x2-4x+3

，解得

x1=1 y1=0

，

x2=2 y2=-1

，
∴Q₁（1，0），Q₂（2，-1）；
②Q点在直线BC上方时，先在y轴上取点F（0，5），同理可求出Q点坐标为Q₃（

3- 17

2

，

7+ 17

2

），Q₂（

3+ 17

2

，

7- 17

2

）．
综上所述，满足条件的Q点坐标为Q₁（1，0），Q₂（2，-1），Q₃（

3- 17

2

，

7+ 17

2

），Q₂（

3+ 17

2

，

7- 17

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．