Question

（1）如图①，⊙O的弦CE垂直于直径AB，垂足为点G，点D在

CB

上，作直线CD，ED，与直线AB分别交于点F，M，连接OC，求证：OC²=OM•OF；
（2）把（1）中的“点D在

CB

上”改为“点D在

AE

上”，其余条件不变（如图②），试问：（1）中的结论是否成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图①，连接CM，OE．易得AF是EC的中垂线，有MC=ME，有∠CMA=∠EMA．∠AOC=

1

2

∠COE，由圆周角定理知，∠AOC=∠CDE．由三角形的外角与内角的关系和等量代换求得∠OCM=∠F，故有△OMC∽△OCF，得到

OC

OF

=

OM

OC

，即OC²=OM•OF．
（2）如图②，连接MC，OE．易得AF是EC的中垂线，有MC=ME，∠EMG=∠CMO．由三角形的外角与内角的关系和等量代换求得∠FCO=∠CMO，故有△OCF∽△OMC．得

OC

OM

=

OF

OC

，即OC²=OM•OF．

解答：（1）证明：如图①，连接CM，OE，
∵AB⊥CE于G，∴GC=GE．
∴MC=ME，∴∠CMA=∠EMA．
∠AOC=

1

2

∠COE，∴∠AOC=∠CDE．
又∠OCM=∠AOC-∠CMA，
∠F=∠CDE-∠DMF，
∠DMF=∠EMA，
∴∠OCM=∠F．
又∠COM=∠FOC，∴△OMC∽△OCF．
∴

OC

OF

=

OM

OC

．
∴OC²=OM•OF．

（2）解：成立．理由如下：
如图②，连接MC，OE，
∵AB⊥CE于G，
∴GC=GE，

BC

=

BE

=

1

2

CBE

．
∴∠CDE=∠COB，MC=ME．
∴∠EMG=∠CMO．
∵∠FCO=∠COB-∠OFC，∠EMG=∠CDE-∠DFM，∠DFM=∠OFC，
∴∠EMG=∠FCO．
∴∠FCO=∠CMO．
∴△OCF∽△OMC．
∴

OC

OM

=

OF

OC

，
∴OC²=OM•OF．

点评：本题利用了垂径定理，三角形的外角与内角的关系，中垂线的性质，相似三角形的判定和性质求解．