Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为点B′、C′、D′．求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值．

Answer 1

分析：找到S_{四边形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC的等量关系，并且根据本等量关系计算得BB′+CC′+DD′=

2

AP

，根据AP的范围计算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值．

解答：解：∵S_△DPC=S_△APC=

1

2

AP•CC′，
得S_{四边形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC
=

1

2

AP（BB′+DD′+CC′），
于是BB′+CC′+DD′=

2

AP

．
又1≤AP≤

2

，
故

2

≤BB′+CC′+DD′≤2，
∴BB′+CC′+DD′的最小值为

2

，
最大值为2．
故最大值为2，最小值为

2

．

点评：本题涉及垂线可考虑用面积法来求．故找到S_{四边形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC的等量关系，本题考查了极值的运算，考查了正方形各边均相等且各内角为90°的性质，解本题的关键是化简得到BB′+CC′+DD′=

2

AP

的方程式，并根据AP的范围求解．