Question

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=2

2

，求EF的长；
（3）求以BP、EF为根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）本题需作辅助线，再根据圆内接四边形对角互补证明∠PBC是直角，从而可以确定CB是⊙P的切线；
（2）根据△FCE∽△PCB，则

CB

CE

=

BP

EF

，由于CB是⊙P的切线，所以根据CB²=CD•（CD+DE），可以求得DE的长度，进而求得CE的长度；再求得BP的长度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，则可求得BP的长度；
（3）由根与系数的关系可知：EF+BP=

2

+1，EF•BP=

2

则可确定一元二次方程．

解答：解：（1）∵点P在⊙O上．连接PB，PA，
∵⊙O的弦AC切⊙P于点A，
∴∠CAP=90°．
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PBC=90°，即PB⊥CB．
∵B在⊙P上，
∴CB是⊙P的切线．

（2）∵CB是⊙P的切线，
∴CB²=CD•（CD+DE）．
∵CB=2

2

，CD=2，
∴(2

2

)2=2×（2+ED）．
∴DE=2．
∴CE=CD+DE=2+2=4．
∴在⊙P中，PD=PE=

1

2

ED=1．
∵CP=3，CB=2

2

，
∴BP=1．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=∠CBP=90°，∠FCE=∠PCB．
∴△FCE∽△PCB．
∴

CB

CE

=

BP

EF

．
∵CB=2

2

，CE=4，BP=1，
∴

2 2

4

=

1

EF

．
∴EF=

2

．

（3）∵EF+BP=

2

+1，EF•BP=

2

，
∴所求以EF，BP为根的一元二次方程是：x²-（

2

+1）x+

2

=0．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．以及根与系数的关系．