Question

16．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，O为AB的中点，AE=AO，BF=BO，OE=2$\sqrt{2}$，OF=3，则AB的长为（　　）

• A． $\sqrt{58}$
• B． 5
• C． 8
• D． $\sqrt{29}$

Answer 1

分析 延长FO至H，使OH=OF，连接AH，EH，利用全等三角形的判定和性质证明BF=AH=AE=AO=OB，再利用勾股定理解答即可．

解答 解：延长FO至H，使OH=OF，连接AH，EH，

∵AO=OB，OF=OH，∠AOH=∠BOH，
在△AOH与△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOH=∠BOH}\\{OH=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△BOF（SAS），
∴BF=AH=AE=AO=OB，
∴∠2=∠B，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠4=$\frac{1}{2}（180°-∠1）+\frac{1}{2}（180°-∠2）$
=180°-$\frac{1}{2}（∠1+∠2）$=135°，
过E作EG⊥FH，在Rt△EOG中，∠EOG=45°，EO=2$\sqrt{2}$，
∴OG=EG=2，
∴HG=3+2=5，
∴EH²=2²+5²=29，
在Rt△EAH中，2AE²=EH²=29，
∴AB²=（2BO）²=4BO²=2×29=58，
∴$AB=\sqrt{58}$，
故选A．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用全等三角形的判定和性质证明BF=AH，以及利用勾股定理解答．