Question

已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC边的中点，将-含30°角的直角三角板PQR放置到△ABC上，使得P点与O点重合，将三角板绕着O点旋转，在旋转过程中，PQ、PR分别与直线AB、AC交于点E、F：
（1）当PQ、PR分别与线段AB、AC交于点E、F时（如图a），求证：∠BEO=∠COF；
（2）当PQ、PR分别与直线AB、AC交于点E、F时（如图b、图c），∠BEO与∠COF的大小关系是否改变？请直接写出结论；
（3）在图c中，连接EF，若AB=4，BE=，求CF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得∠B=∠C=30°，已知∠OPR=30°，根据角之间的关系，即可得到∠COF=∠BEO；
（2）连接AO，则AO⊥BC．
根据三角函数，可求得OB的长；
根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两个三角形相似，得到△BOE∽△CFO，进一步得到对应边比例，从而求得CF的长．
解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠OPR=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°．
而∠BPE+∠BEP=150°，
∴∠CPF=∠BEP，即∠COF=∠BEO．

解：（2）∠BEO=∠COF不改变．

（3）连接AO，则AO⊥BC．
∴OB=ABcos30°=．
由（1）得∠COF=∠BEO，∠C=∠B，
∴△BOE∽△CFO．
∴，
∵OC=OB，
∴．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定及旋转的性质等知识点的综合运用．