Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交边BC于点D，交边AC于点E．过D点作DF⊥AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求证：CF＝EF；

（3）延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径及CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径是，CD=3．

【解析】

（1）首先连接OD，通过等量互换，得出OD∥AC，进而得出DF⊥OD，即可得证；

（2）首先根据圆内接四边形的性质得出∠CED=∠ABC，进而得出∠CED=∠C，CD=DE，然后根据等腰三角形的性质即可得出CF=EF；

（3）首先根据圆和等腰三角形的性质得出CD=BD，然后根据平行判定△GOD∽△GAF，利用相似成比例构建方程即可得出⊙O的半径，利用△CED∽△CBA，即可得出CD.

（1）证明：如图1，连接OD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：如图2，连接DE，

∵四边形AEDB为圆内接四边形，

∴∠CED=∠ABC，

∵∠ABC=∠C，

∴∠CED=∠C，

∴CD=DE，

∵DF⊥CE，

∴CF=EF；

（3）解：如图3，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴CD=BD，

∵OD∥AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴，

∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r，

∴AF=2r﹣3，OG=9+r，AG=9+2r，

∴，

∴r=，

即⊙O的半径是．

∴AC=AB=9，

∵∠CED=∠ABC，∠ECD=∠ACB，

∴△CED∽△CBA，

∴，

∴，

∴CD=3．