Question

7．已知：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB．
求证：AD+CD=AB．

Answer 1

分析 如图，在AB上截取BE=AC，延长AD到F使AF=AB，连接DE、BF，只要证明△ABC≌△ADE，△DBE≌△DBF，即可解决问题．

解答 证明：如图，在AB上截取BE=AC，延长AD到F使AF=AB，连接DE、BF．
又∵∠1=∠2，AD是公共边BE，
在△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠1=∠2}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠AED=∠C=100°，则得∠DEB=80°
∵CA=CB，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=20°，∠3=40°
∵AF=AB，∠2=20°，
∴∠F=∠ABF=1/2（180°-∠2）=80°则∠F=∠DEB
∴∠4=80°-∠3=40°，
∴∠3=∠4，∠F=∠DEC，
在△BDF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠DEB=∠F}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DBF（AAS）
∴DF=DE=CD
∴AB=AF=AD+DF=AD+DC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是学会利用截长补短法添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．